FUNCIONES EXPONENCIALES
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.
1) f(x) = 2x
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:
2) ax = ay si y sólo si x = y
3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:
1) 2x = 8
2) 10x = 100
3) 4 x - 3 = 8
4) 5 2 - x = 125
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:
1) 2x = 64
2) 27 x + 1 = 9
La función exponencial de base e
Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
La gráfica de f(x) = ex es:
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de
f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.
Ejemplos: Simplifica.
Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1
Práctica:
1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)
2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:
